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Détermination analytique de la demande Marshalienne dans le cas préférences convexes

Le problème de l'approche précédente est qu'elle ne permet pas de faire des prévisions très précises. Elle ne permet pas de savoir comment la demande d'un bien se modifie si son prix augmente, ou si le prix d'un autre bien se modifie. Pour cela, il faut disposer d'une approche analytique de la demande Marshallienne. On peut s'appuyer sur la propriété suivante.

propriété 4   le panier de biens $X^*$ est une demande marshalienne si et seulement si il est solution du problème suivant:

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{ll}
\mathop{\hbox{\rm max}}& U(X) \\ X \\
s.c. & \sum_{i=1}^n p_ix_i \le R
\end{array}\right.
\end{displaymath}

N.B dans le programme précédent, ``s.c'' signifie sous contrainte.

La démonstration de la propriété est simple. Si $X^*$ est une demande Marshalienne, alors il vérifie la contrainte, et de plus, si on a un $X\succ X^* \Leftrightarrow U(X)>U(X^*)$ alors $\sum_{i=1}^n p_ix_i>
R.$ La réciproque est également simple et est laissée à titre d'exercice.

On a également une propriété importante qui découle de ce programme

propriété 5   Si les prix et les revenus sont multipliés par une même constante positive, la demande Marshallienne est inchangée

Exercice 20   Démontrez la propriété précédente.

Cette propriété est importante car elle montre que la quantité de demandée est incchangée par modification de l'unité monétaire (si l'on passe d'anciens en nouveux francs, ou du franc français à l'euro).

Le problème est que résoudre ce genre de programme peut être difficile. Heureusement pour nous les mathématiciens du XVIIIème siècle on fait beaucoup de travail sur ce sujet, et ils ont montré que l'on peut résoudre ces questions à condition d'avoir des préférences vérifiant une condition supplémentaire.

définition 7   Si

\begin{displaymath}\forall \, X,X',X'' \; et \; \forall \, \lambda \, \in
\, [0,...
...eq X
\; \Rightarrow \;
\lambda X'+(1-\lambda)X'' \succeq X \, \end{displaymath}

alors les préférences de l'individu sont dites convexes.

Tout d'abord dans quel cas a-t-on des préférences convexes ? Géométriquement, les préférences sont convexes si et seulement l'ensemble des paniers préférés à un panier donné est convexe. C'est exactement ce que dit la proposition, si $X'$ et $X''$ sont préférés à $X$ alors le segment $[X',X'']$ ne contient que des paniers préférés à $X$. Les représentations suivantes permettent de se faire une idée plus précise de cette propriété.

Figure 16  
\epsfbox{convexe.eps}

Il est maintenant temps de se souvenir que cette histoire de sens de la courbure de la courbe d'indifférence a déjà été rencontrée. Nous avons en effet vu que le cas que nous appelons maintenant ``convexe'' correspondait à des comportements de substitutions beaucoup plus fréquents que ceux correspondant au cas non convexe. Rappelons que dans ce dernier cas, les préférences de l'individu sont quelques peu ``monomaniaques'' (elles le poussent à demander à se défaire toujours plus de ce qu'il a le moins pour le substituer à ce qu'il a le plus). A l'inverse, des préférences convexes traduisent un goût pour des paniers plus variés.

On a alors le résultat suivant.

propriété 6   Si les préférences sont convexes alors $X^*$ est une demande Marshalienne si et seulement si $X^*$ est solution du système d'équations suivant

\begin{displaymath}\begin{array}{ll}
TMS_{i/j}(X^*)&=p_i/p_j, \, \forall \, i,j \\ \\
\sum_{i=1}^n p_ix^*_i&=R
\end{array}
\end{displaymath}

Nous ne donnons qu'une approche intuitive de la preuve de ce résultat.

Rappelons que le panier $X^*$ est une demande Marshalienne si tous les paniers préférés à $X^*$ sont trop onéraux alors que $X^*$ vérifie la contrainte de budget.

Il est tout d'abord clair que les demandes Marshalliennes sont nécessairement sur la droite de budget. En effet, si ce n'est pas le cas alors on pourrait dépenser un peu plus et augmenter ainsi son utilité. Mais il existerait alors un panier strictement préféré à notre demande et vérifiant la contrainte budgétaire, ce qui n'est pas possible par définition.

Maintenant, en dimension 2, et si les préférences sont convexes, nous avons ce dessin-là

Figure 17  
\epsfbox{marsh3.eps}

On voit alors que la droite budgétaire est tangente à la courbe d'indifférence passant par $X^*$ précisément au point $X^*.$ Mais il est temps de se souvenir également que l'opposé de la pente de la tangente en ce point est $TMS_{1/2}(X^*).$ On a donc


\begin{displaymath}
-TMS_{1/2}(X^*)=-p_1/p_2
\end{displaymath}

puisque $-p_1/p_2$ est la pente de la droite de budget. Ceci démontre la propriété en dimension 2. Pour les dimension supérieures, nous admettrons ce résultat, mais le raisonnement est très similaire.

A l'aide de cette propriété, nous pouvons ramener le problème de maximisation sous contrainte à la résolution d'un système d'équations. La simplification ne saute pas aux yeux, mais en pratique la résolution du système d'équations est souvent assez abordable. Comme le montre l'exemple suivant.

Soit la fonction d'utilité $U(x_1,\ldots,x_n)= \sum_{i=1}^n \alpha_i
\log(x_i)$ avec $\alpha_i>0$ pour tout $i$.

On a $TMS_{i/1}(X)=\frac{\alpha_ix_1}{\alpha_1x_i}$ pour $i=2,\ldots,n$.

Le système d'équations

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
TMS_{i/1}(X^*)=p_i/p_1, \, \forall \, i \ge 2 \\ \\
\sum_{i=1}^n p_ix^*_i=R
\end{array}
\end{displaymath}

s'écrit donc

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
\alpha_i x^*_1/(\alpha_1x^*_i)=p_i/p_1 \, \forall \, i \ge 2 \\ \\
\sum_{i=1}^n p_ix^*_i=R
\end{array}
\end{displaymath}

On en déduit

\begin{displaymath}
p_ix^*_i=\frac{p_1 x^*_1 \alpha_i}{ \alpha_1} \, \forall \, i \ge 2
\end{displaymath}

ce qui rapporté dans la contrainte budgétaire amène

\begin{displaymath}
p_1x_1^* \sum_{i=1}^n \alpha_i=R \, \Leftrightarrow
x^*_1 =\frac{\alpha_1}{\sum_{i=1}^n \alpha_i}\frac{R}{p_1}
\end{displaymath}

et après remplacement

\begin{displaymath}
x^*_i =\frac{\alpha_i}{\sum_{j=1}^n \alpha_j}\frac{R}{p_i} \; \forall \, i \ge 2\end{displaymath}

Ce cas est l'un des plus simples, il est très employé dans les exercices théoriques (il a aussi quelques applications pratiques, notamment en matière d'indexation salaire/prix et de calcul d'indices de prix). Cette demande marshalienne est dite Cobb-Douglas (du nom des économètres qu'ils l'ont utilisé les premiers) et la fonction d'utilité associée est dite aussi fonction Cobb-Douglas. Cette fonction présente plusieurs caractéristiques qui la rendent très attractive, nous verrons ensuite pourquoi.

Exercice 21   Nous allons montrer que la propriété $TMS_{i/j}(X^*)=p_i/p_j$ n'est pas nécessairement vérifiée quand les préférences ne sont pas convexes.

1) Supposons que la fonction d'utilité soit $U(x_1,x_2)=x^2_1+x^2_2$ que les prix des biens sont $p_1=1,p_2=2.$ Calculez la demande marshalienne (faire un dessin).

2) Montrez que $TMS_{1/2}(X^*)\not=p_1/p_2.$

Exercice 22   Evidemment, la propriété $TMS_{i/j}(X^*)=p_i/p_j$ requiert aussi l'existence du TMS, ce qui n'est pas toujours le cas.

1) Supposons que la fonction d'utilité soit $U(x_1,x_2)=\mathop{\hbox{\rm min}}\{2x_1,x_2\}.$ Représentez graphiquement la demande marshallienne $X^*(p_1,p_2,R)$.

2) Montrez que le TMS n'est pas défini en $X^*(p_1,p_2,R).$

Outre la vérification de la contrainte de budget, on sait que la demande $X^*$ vérifie $TMS_{i/j}(X^*)=p_i/p_j, \, \forall \, i,j$ Cette équation joue un rôle fondamental en économie. Il est hors de question de présenter ici toutes ses conséquences, mais il est important de faire quelques remarques. Tout d'abord, elle provient bien d la confrontation des préférences de l'individu (d'après la présence du TMS) et de la contrainte bdugétaire. Ensuite, elle traduit une ``balance'' de deux effets. Si nous substituons du bien $i$ au bien $j$ cela modifie notre dépense (par exemple si nous remplaçons un bien cher par un autre qu'il l'est moins). Mais cela modifie aussi notre bien-être (par exemple si le bien moins cher est également de moins bonne qualité de notre point de vue). On peut y voir une forme sophistiquée et généralisée d'une sorte de rapport ``qualité/prix''.

Un dernier commentaire concernant le résultat qui peut paraitre suprenant que l'on doit dépenser tout sono budget. Tout d'abord, il est important de remarquer que cette propriété des demandes marshalliennes est une conséquence directe de l'axiome de non satiété strict. Elle est en particulier vérifiée même si les préférences ne sont pas convexes. Ensuite, on pourrait objecter que ce résultat est absurde car il clair que seuls les indigents sont amenés à dépenser l'entièreté de leur revenu. Beaucoup de personnes épargnent. On pourrait également arguer que la contrainte de budget n'existe pas vraiment puisqu'au besoin on peut toujours s'endetter pour acheter ce que l'on veut. De fait pratiquement personne n'est capable de financer cash l'achat d'une résidence principale.

Aucune de ces objections n'est recevable, car elles négligent un fait important. Si nous nous endettons ou que nous épargnons, c'est que les décisions de consommation que nous prenons concernent plusieurs périodes de temps différentes. On doit donc considérer des consommations sur plusieurs dates et des biens disponibles à plusieurs dates. De façon intertemporelle, nous dépensons alors bien au cours de toute notre vie, toute notre richesse.

Si nous nous limitons à une période de temps donnée (par exemple un jour), on doit alors interpréter $R$ comme l'ensemble de la richesse consacrée aux dépenses de cette journée. Là encore on dépense donc toute la richesse. Pour simplifier, nous conserverons souvent par la suite cette seconde interprétation, mais elle n'est pas exclusive.


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jouneau-sion 2006-05-03