Contraintes vérifiées par les fonctions d'utilité

Tout comme les ensemble d'indifférence, les fonctions d'utilité vérifient un ensemble de contraintes qui découlent des hypothèses 1 à 5.

propriété 1   Une fonction d'utilité est strictement croissante en chacun de ses arguments

démonstration : Si $U$ est une fonction d'utilité c'est qu'elle représente une relation de préférence $\succeq.$ Soit un panier $X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ et une quantité $\epsilon>0$ on sait d'après l'axiome de non satiété strict que $(x_1+\epsilon,x_2,\ldots,x_n) \succ X.$ Mais alors $U(x_1,x_2,\ldots,x_n)>U(x_1+epsilon,x_2,\ldots,x_n)$ et donc $f$ est strictement croissante en son premier argument. Le même raisonnement peut-être tenu pour tout indice Q.E.D.

propriété 2   Si deux paniers $X$ et $X'$ appartiennent au même ensemble d'indifférence associé à la relation de préférence $\succeq$ et que $f$ représente $\succeq$ alors $U(X)=U(X').$

démonstration : Si $X$ et $X'$ appartiennent au même ensemble d'indifférence associé à la relation de préférence $\succeq$ alors on a $X\succeq X'$ ce qui implique $U(X) \geq U(X')$ mais on a aussi $X' \succeq X$ ce qui implique $U(X') \geq U(X).$ Donc $U(X)=U(X').$

Exercice 8   Démontrez la réciproque de la propriété précédente.

Les deux propriétés précédentes montrent, quand on les combinent, quelque chose de très important. Supposons que deux paniers différents $X$ et $X'$ appartiennent au même ensemble d'indifférence. On a alors $U(X)=U(X').$ Mais on sait alors que le panier $X$ contient certains biens dans des quantités supplémentaires à celles figurant pour les mêmes biens dans le panier $X'$ et qu'il en est de même pour le panier $X'.$ Autrement dit si deux paniers différents l'un de l'autre sont jugés équivalent par un individu c'est que chacun de ces paniers contient quelque chose en plus par rapport à l'autre. Dans le cas $n=2$ cela donne quelque chose d'assez simple. Si $X \sim X'$ et que $X \not= X'$ alors c'est que l'unde des deux affirmations suivantes ``$x_1>x'_1$ et $x'_2>x_2$'' ou ``$x'_1>x_1$ et $x_2>x'_2$'' est vraie.

Autrement dit, pour passer d'un panier à un autre sans modifier son bien-être, il faut substituer un bien à un (ou des) autre(s).

On peut également utiliser les propriétés que nous venons de démontrer pour représenter graphiquement les ensemble d'indifférence associés à des fonctions d'utilité donnée. On montre comment le faire pour un cas, les autres sont donnés en exercice. Soit $U(x_1,x_2)=x_1x_2$ pour $x_1>0$ et $x_2>0.$ Cette fonction est bien croissante en chacun de ces arguments (sur le domaine donné). Un ensemble d'indifférence associé à cette fonction est

$$\{x_1 >0 x_2 >0 \vert U(x_1,x_2)=U_0\}$$

où $U_0>0$ est une quantité donnée. Mais on a

$$\{x_1 >0, x_2 >0 \vert U(x_1,x_2)=U_0\}= \{x_1 >0, x_2 >0 \vert x_2=U_0/x_1\}$$

L'ensemble cherché est donc l'hyperbole équilatère passant par le point de coordonnées $(\sqrt{U_0},\sqrt{U_0}).$

Exercice 9   Représenter la forme des ensembles d'indifférence associés aux fonctions d'utilité suivantes (les domaines sont toujours $x_1>0, x_2>0$ ):

$$\begin{array}{ll} U(x_1,x_2)&=x_1+x_2\\ U(x_1,x_2)&=\log(x_... ...)&=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\\ U(x_1,x_2)&=x^2_1+x^2_2 \end{array}$$